Ммм... ща посмотрим...
Допустим, есть у нас ванна:
площадь сечения ванны S
площадь сечения сливного отверстия s
высота ванны H
высота текущего уровня воды h
время заполнения пустой ванны T=10 мин.
время слива полной ванны t=20 мин.
скорость опускания уровня воды в ванне w
скорость вытекающей из сливного отверстия струи v=sqrt(2*g*h), по правилу Торичелли
Задачка основывается на том, что скорость опускания уровня воды в ванне есть величина переменная, т.к. чем больше в ванной воды, тем быстрее она выливается. Требуется установить уровень воды h_предельная, при котором утекает столько же воды, сколько вливается. Если h_предельная<=H, то вода никогда не перельётся через край.
За секунду из ванны вытекает объём воды S*w*(1 сек). Тот же объём воды - s*v*(1 сек) - проходит через слив. Приравняем, получим:
w=v*(s/S)
При закрытом сливе w=H/T. Нужно найти равновесное состояние.
H/T (вливается) = v_предельная*(s/S) (вытекает). Учитывая формулу для v:
h_предельная = (1/2)*(H/T)^2*(S/s)^2/g
Казалось бы, всё зависит от параметров ванной? Ан, нет!
Движение-то воды в ванной равноускоренное (a=const), с максимальной скоростью w_макс при полной ванне и 0 при пустой. Описывается оно, с одной стороны, уравнением:
H=a*t^2/2
А с другой,
a=w_макс^2/2*H
Памятуя о том, что v_макс=w_макс*(S/s), и что v_макс=sqrt(2*g*H), получим для t выражение:
t^2=2*H/a=4*H^2/w_макс^2=2*H^2*(S/s)^2/(g*H)=2*H*(S/s)^2/g
Проще говоря,
h_предельная/H=(t/2*T)^2
Т.е., в нашем случае, h_предельная=H.
А поскольку предельное состояние достигается за бесконечное время (чем ближе к нему подходим, тем больше выравниваются скорости вливания-выливания, тем меньше общий приток воды и т.д.), то ванна до краёв не наполнится никогда. Такая вот задачка "для первоклассников".
